週記（十六）

2025-05-10

修課

書法課繼續練習智永千字文。老師給大家發了一個迷你扇子，希望大家可以自己設計扇子的形式，然後寫上兩個字（示例是「清風」）。總覺得寫什麼字都挺裝的，但寫諸如「吉娃」這類的字又似乎太沒情調。目前沒什麼靈感。

統計學習課繼續上 functional data analysis。

研究與閱讀

Delaigle and Hall (2012)

為了統計學習課的 paper presentation，讀了這篇文章。文章發表在 JRSSB，標題是 Achieving near Perfect Classification for Functional Data。雖然我不是 functional data 的專家（連初心者都稱不上），但有感覺到這篇文章確實提供了一種觀點。好的期刊文章，作為一種好的寫作，確實就是提供讀者一種新的觀點。

假如我們看到一個資料集 \((X_i, I_i)\)，其中 \(X_i\) 是一個定義在 compact set \(\mathcal{I}\) 上的隨機函數，而 \(I_i\) 是一個二元變數，表示 \(X_i\) 的類別。如同很多 functional data 的文章，首先作者定義共變異數函數 \[ \operatorname{Cov}\{X(u), X(v)\} = K(u, v) = \sum_{j = 1}^\infty \theta_j \phi_j(u) \phi_j(v), \] 其中 \(\theta_1 \geq \theta_2 \geq \cdots{}\) 是特徵值，而 \(\phi_j\) 是對應的標準正交的特徵函數。

作者定義了 centroid classfier，即對於一個新的隨機函數 \(X\)，我們可以計算它與兩個類別的 centroid 的距離，然後選擇距離較近的類別。

所謂 centroid classifier，就是計算以下的統計量 \[ T(X) = D^2(X, \bar{X}_1) - D^2(X, \bar{X}_0), \] 其中 \(D^2(x, y)\) 是某種距離，而 \(X\) 是一筆新資料（在多變量的統計學中是歐氏空間中的點，在函數資料中是一個函數），\(\bar{X}_1\) 和 \(\bar{X}_0\) 是兩個類別的 centroid。當 \(T(X) > 0\) 時，我們就判斷 \(X\) 屬於類別 1，否則屬於類別 0。所以顯然地，多變量的 LDA 是一種 centroid classifier，只是 \(D^2\) 是 Mahalanobis distance，定義為 \(D^2_{\Sigma^{-1}}(x, y) = (x - y)^\intercal \Sigma^{-1} (x - y)\)，其中 \(\Sigma\) 是資料的共變異數矩陣。在文章中，作者則是定義 \[ D(X, \bar{X}_k) = | \langle X, \psi \rangle - \langle \bar{X}_k, \psi \rangle |, \] 其中 \(\psi\) 是一個定義在 \(\mathcal{I}\) 上的函數，\(\langle \cdot, \cdot \rangle\) 是 \(\mathcal{I}\) 上的內積。因此， \[ T(X) = (\langle X, \psi \rangle - \langle \bar{X}_1, \psi \rangle)^2 - (\langle X, \psi \rangle - \langle \bar{X}_0, \psi \rangle)^2. \] 不失一般性地假設類別 1 的母體平均函數是 \(\mu\)，而類別 0 的母體平均函數是 \(0\)，則根據大數法則，\(T(X)\) 收斂到 \[ T^0(X) = (\langle X, \psi \rangle - \langle \mu, \psi \rangle)^2 - \langle X, \psi \rangle^2. \] 至於 \(\psi\) 要選什麼呢？在文章中，作者定義 \[ \psi^{(r)} = \sum_{j = 1}^r \theta_j^{-1} \mu_j \phi_j, \] 其中 \(\mu_j\) 是 \(\mu\) 在 \(\phi_j\) 方向上的投影，\(\theta_j\) 是 \(\phi_j\) 所對應的特徵值。這樣的 \(\psi\) 在 \(r\) 趨近於無窮大的時候，可以給我們最適的分類結果，而特別在 \(\sum_{j = 1}^\infty \theta_j^{-1} \mu^2_j = \infty\) 時，漸進錯誤率為 \(0\)。這看起來是很厲害的結果，但其實也很好理解，\(\sum_{j = 1}^\infty \theta_j^{-1} \mu^2_j = \infty\) 意味著（不只有）無窮大的信噪比，因此能達成完美分類，而這也是 functional data 的特性。事實上，正因為很多分類方法都是一種 centroid classifier，因此這篇文章的結果說明為何在 functional data 的情境中，這些簡單的線性方法就可以達到非常好的分類效果。

Robert et al. (2023)

這篇發在 AER，標題是 The Economic Origin of Government。本文探討政府起源的兩個主要理論：合作論（cooperative theory） 和 榨取論（extractive theory）。

伊拉克南部是一個乾旱的沙漠地區，因此在遠離河流的地方，農業活動必須依賴灌溉。當河流從某個地方改道離開後，由於私人灌溉變得困難，當地社區會產生對公共運河系統的需求，這需要協調才能實現。這種情境符合合作理論，認為政府的出現是為了提供個人無法有效提供的公共財貨，如大型灌溉系統的建設和維護，以解決外部性或協調失敗問題。相反地，河流改道離開也會導致稅基消失，削弱了精英進行榨取的誘因。如果政府主要是由精英為了榨取而建立（榨取理論），那麼政府更可能在河流移至的地方或河流未發生變化的地方形成，因為這些地方仍然有穩定的農產品或稅基。

作者使用芝加哥大學東方研究所搜集的考古資料，並以此為基礎，補充了關於國家形成、國家能力、公共財提供和貢品支付的衡量指標。研究的觀察單位是一個個 \(5 \times 5\) 公里的網格，資料共有 \(1374\) 個網格，每個網格單元在 \(31\) 個歷史時期都有資料。從約西元前 5000 年至今，底格里斯河和幼發拉底河共發生了六次突然的改道。研究主要關注約西元前 2850 年的第一次改道，將其作為一個自然實驗。研究主要包括改道前的四個史前時期與改道後的一個時期，共五個時期的 panel dataset，時間範圍是西元前 3900 年至西元前 2700 年。在這個樣本中，平均每個時期約長 240 年。這真是不得了，千年的迴歸分析（不曉得究竟可信與否但挺有趣的）。

作者的主要發現是，改道而水源消失的地區更容易出現政府。這與合作論的預測一致，因為這些地區需要協調來建設和維護公共灌溉系統。

其他

還看了一些別的東西，不過就寫到這裡了。

其他

一件趣事。有天晚上跟兩個高中同學，YH 和 YT，晚上去吃舊丘（六張犁附近的串燒店，還不錯）。¹ 席間聊到我們的另個高中同學 WC，他非常狂熱於支持某政黨與某些政治人物，例如 ○○○，也想說服他身邊的人改變政治立場或觀點。YH 很不滿意這點，他認為 WC「魔怔」了（引用 YH 的原話），所以特別喜歡跟他討論政治，問他一些問題，然後 WC 就會很激動地跟他講一堆東西。YH 認為 WC（畢業於臺北某大學文學院）不懂物理化學，也不懂政治經濟，只會看那些政治人物和智庫的談話，完全像是被洗腦。他說，他當年上 TM 老師的經原的時候，考試有一題，問同學如果今天有一個問題，你必須在很短的時間內做出決定，而你對它一無所知，而有 50 個臺大教授一致認為應該選擇 A，1 個諾貝爾獎得主認為應該選擇 B，你會選擇哪一個？² TM 認為，應該要相信權威，因此要選擇 B。

我和 YT 當下就覺得這個問題本身很無厘頭。因為跟 YH 蠻熟的，因此我直言不諱。我首先不能理解，為何要相信權威，而不是理性地判斷？我們覺得某些政治人物真是惡劣，不是因為他講起話來真是沒有邏輯有雙重標準嗎？而覺得 TM 老師講得不錯，不也是因為他講的經濟學確實有一套嗎？而且，難道就算權威真的比較懂，難道他就不會昧著良心說話嗎？YH 嘗試說明 TM 當時用來論證的理由，但是講得不是很能服人，他也說他不是很記得確切的推論過程。因此我又說，即便 TM 說的有道理，我們該相信權威，那誰是權威呢？如果這件事情也要訴諸權威，那又是誰可以決定誰是權威呢？YH 似乎覺得有道理。我又接著說，搞不好其實你跟 WC 是一樣的，只是你們認為不同的東西是權威而已。為什麼他每次都要聲稱自己看了哪些哪些智庫的報告呢？你可能認為 TM 老師是權威，但他也可能只是認為 ○○○ 是權威而已。為什麼 TM 老師就是權威，而 ○○○ 就不可能是權威呢？他說他覺得我說得有道理，應該要去聯絡 TM 或者是當時的助教 KH 確認一下。不過最後，他又說，或許他被我說服，只是因為他潛意識中覺得我是權威而已。